土的本构模型的通用性与实用性

土的本构模型的通用性与实用性

杨光华

（广东省水利水电科学研究院，广东省岩土工程技术研究中心）

近期思考了一下土的本构模型问题，感觉弹塑性模型比较活跃，很多研究是在剑桥模型上的发展，如改进剪胀方程，改进屈服函数，增加剪切屈服函数，发展双屈服函数模型，如硬化模型（HS模型），沈珠江的南水模型等，还有为避免确定塑性势函数和屈服函数的问题，发展广义塑性模型，即直接定义塑性流动方向和加载方向建立模型。这些模型之间有联系吗？细想一下发现，这些模型其实也可以统一用广义位势理论来更方便直观的建立，并从中认识各模型的联系和假设，对于发展本构模型有启发，为此写下一点思考，供大家参考。

土的本构模型是现代土力学的核心，目前尚未很好解决，主要原因一方面是因为土的力学特性复杂，二是缺乏合适的本构理论，三是模型的参数多或者确定不方便，影响应用。现有的建模方法多是在传统理论基础上的改进，像传统的弹塑性理论，是一种特殊理论，要想很好的用于表述复杂材料会使模型复杂化。由广义位势理论可以建立普遍适用和通用的广义弹塑性模型，在此基础上，可以依据问题的不同引入假设，简化模型及参数确定方法，建立简便实用的本构模型，用于工程，解决本构模型的工程应用问题，提高岩土工程设计水平。

1 前言

土的本构模型是现代土力学的核心，自从1963年发表剑桥弹塑性模型以来，已历经了近60年的研究，提出了众多的模型，但能用于工程设计的模型还是缺乏。工程中用本构模型计算的结果主要还是参考，且不同的模型计算结果会不同，甚至还会相差大，说明研究还未成熟。目前总体而言，研究的多，同行公认的模型少，说明还是没有找到共识的模型。

由于传统理论的局限性，研究者为适应岩土变形的特殊性，采用不同的扩展方法，以表述岩土不同的变形特性，因其基于的理论和假设不同，建立的本构模型之间难以比较。以弹塑性模型为例，比较受追捧的典型模型有剑桥模型、硬化（HS）模型、广义塑性模型、双屈服面模型等，每一个模型依据的理论假设可能不很清楚或不同，如有用关联流动法则的，有用非关联流动法则的，也有直接定义流动方向的，有用一个屈服函数的，有用两个屈服函数的，甚至不同模型基于不同的理论基础，各自也都有试验验证，都表述了一定的变形特点，但难以互相比较。由于缺乏一个统一的理论和比较的基础，以致模型越来越复杂，参数也越来越多，概念也越来越多而复杂，工程师望而生畏，影响工程应用。

而岩土工程本身也并非是精确科学，正如太沙基所言是一门艺术科学，难以精确，过于追求精确，会使本构模型复杂，参数多，难以实用。因此，探求安全实用的本构模型，也即模型简单、参数易确定、能反映土的主要变形特点的安全实用模型可能是解决本构模型目前曲高和寡、难以工程应用的一个出路。

能否有一个理论可靠、假设清楚的统一建模理论？而不同的模型则在统一理论模型下通过假设进行简化，进而建立实用模型，解决模型的工程应用问题？这样就可以清楚不同模型所做的假设，具有可比较性。这是很有意义的一个问题。

2 建立本构模型的统一理论—广义位势理论及其模型

2.1广义位势理论

目前用于建立土的本构模型的主要理论是传统的弹塑性理论和非线性弹性理论，而目前建立弹塑性模型也有各种理论，如关联流动、非关联流动、广义塑性理论、双屈服面甚至多屈服面等。那么这些理论的基础是什么？如果不同模型的建模理论不同，则难以比较，不同模型似乎有点盲人摸象一样，各自都对但都不是全面审视，也不清楚理论假设对结果的影响，因此，需要有统一的建模理论，建立现有不同建模理论的关系，才可能提高认识，寻找共识模型。

从广义位势理论出发，土的建模理论有两大类，弹塑性和弹性。按增量模型考虑，弹性模型是用弹性分解准则建模，其假设应变增量主轴方向与应力增量主轴方向相同，而塑性模型是用塑性分解准则建模，其假设塑性应变增量主轴方向与应力总量主轴方向相同。当存在塑性应变增量方向与应力增量方向相关时，可以把其认为是似弹性的塑性应变，也即符合弹性模型的塑性应变，采用弹性分解准则建模。

所谓分解准则是指本构模型是在主空间上建立，再通过数学上的坐标变换方法分解到六维空间的应力应变关系。

应力空间的塑性分解准则为：

                  （1）

、（k = 1, 2, 3）——为主空间的三个塑性增量主应变和全量主应力。

把（k = 1, 2, 3）看作为三维主空间的一个三维矢量，则可以用三个线性无关的势函数梯度矢量拟合塑性应变增量的矢量：

   （j,k=1,2,3）           （2）

(2)式代入(1)式，即得：

                     （3）

此即为可用于建立弹塑性本构模型的普遍理论，当矢量为一个有势场时，则可用单一势函数表示三维矢量。

                    （4）

代入(1)即得传统的塑性位势理论：

                   （5）

可见传统的塑性位势理论是假设了是满足一个有势场的条件的。

弹性理论的分解准则就是广义虎克定律。

依据广义位势理论，可以建立统一的弹塑性本构方程：

                   （6）

从广义位势理论中可以得到弹塑性模型的统一通用表达式：

                    （7）

——为弹性矩阵

——为塑性矩阵

由以上统一的弹塑性本构方程，当A、B、C、D四个参数确定方法的不同，即可得到不同的弹塑性本构模型，从而可以对不同模型的适应性进行一定的评判。

当，则为传统的关联流动法则弹塑性模型，弹塑性矩阵是对称矩阵。

当，则为传统的非关联流动弹塑性模型。

物理意义上为塑性应变增量方向与应力增量方向无关，数学上就是（1）式表述的意义。

若，则表示塑性应变增量方向与应力增量方向有关，理论上应该分解出部分拟弹性的塑性应变，建立拟弹性塑性模型，这样模型可以反映塑性应变增量方向与应力增量方向相关的特性。

在p-q空间上，A、B、C、D四个参数为：

考虑弹性变形后，则为：

K_e、G_e为弹性体积模量和剪切模量，也可用弹性模量E和泊松比v表达。

或可写成：

实际上，不同的弹塑性模型就是A、B、C、D四个参数确定的不同方法，剑桥模型、广义塑性模型、双屈服面模型也可以归结为确定这四个参数的一种方法，这样不同模型就可以比较了。

2.2 类剑桥模型

这类模型其实就是传统关联流动的弹塑性模型，关联流动已满足AD-BC=0，B=C。理论上确定四个参数要四个独立方程，但关联流动提供了两个方程，因此，只要再补充两个方程即可。剑桥类模型是利用三向压缩试验确定，再根据土的变形特性设定剪胀方程 即可以得到。

例如：剑桥模型中，由三向压缩试验dq=0，可以得到，考虑在破坏线上，，p轴，设为，，求得B、D则可得到剑桥模型。

修正剑桥模型：

在p轴时，，不合理，为此可设定，就得到修正剑桥模型，此时时，，，比剑桥模型合理。

修正剑桥模型仅是调整了剪胀方程。

各种类剑桥模型剪胀方程合理假设是：

 ① p轴，M轴。

② 在p轴与M轴之间时，与有关。

图1 各种类剑桥模型假设示意图

当然，也可通过试验来获取更符合不同土特性的剪胀方程，因此，各种类剑桥模型或扩展的剑桥模型其实就是剪胀方程的不同。剑桥模型剪胀方程主要是考虑剪缩，如果剪胀方程又考虑到剪胀，就可以扩展用于砂土。剑桥模型把剪胀和应力比建立关系，理论上要进行不同应力比的剪切试验，才可以得到较好的拟合试验方程，试验相对复杂一些。

一些同行应用Zieniekwicz的广义塑性理论，用定义的流动方向代替塑性势函数和屈服函数确定的困难建立广义塑性模型，其实也可以由广义位势理论模型得到，广义塑性模型建立了与塑性势函数对应的剪胀方程=d_g，同时定义了类似d_g的与屈服函数对应的剪胀方程d_f，d_f=，为屈服函数 ，，说明是非关联流动。非关联相当于B≠C，对于p-q空间上，相当于补充一个方程B/C=d_g/d_f，这样由AD-BC=0，由压缩试验确定A，再加上剪胀方程d_g，四个方程可以确定ABCD四个参数而建立本构方程。

关联类剑桥模型在描述剪缩土时相对较简单，剪胀方程概念明确，压缩试验较易实现、参数少，是一个优秀模型。

2.2 依据Duncan-Chang模型的广义弹塑性模型

Duncan-Chang模型也是一个优秀模型，其假设常规三轴试验的应力应变曲线可用双曲线方程表示，通过常规三轴试验确定土的两个模量：切线模量E_t、泊松比的非线性关系。用E_t、即可以确定A、B、C、D这四个参数，建立广义位势理论基础上的广义弹塑性模型。在关联流动条件下：

常规三轴试验条件下，由式（10）、（11）可得：

由（14）（15）（16）（17）4个方程即可解得用E_t、表述的A、B、C、D，代回以上（7）式即得广义弹塑性模型。

当时，则表示剪胀，如果有合适的表达式，能表达土的剪缩和剪胀，则由此得到的模型就可以适用于剪胀性砂土的模型。，易于判断其合理性。有较明确概念，物理意义明确，范围值明确，用表示剪缩剪胀特性，也是一个很好的参数。

硬化土模型（HS）也是一个双屈服面模型，其实质就是用常规三轴试验所得的应力应变双曲线方程求Et，用剑桥模型的压缩试验求参数A代替，在关联流动条件下求解A、B、C、D四个参数。该模型提出了一套确定具体Et、A的方法，参数物理意义好，得到较广泛的应用。

沈珠江的双屈服面模型其实质也是用E_t、  两个参数表示的弹塑性模型，在满足(14)(15)的关联条件下，与上面(16)(17)用E_t、描述的A、B、C、D四个参数的模型是一致的。

由于土的常规三轴试验所得的应力应变曲线试验较符合双曲线方程，试验简单，参数直观，由此确定的模型参数在反映压硬剪软性较直观可靠。Duncan-Chang模型通常是建立于广义虎克定律上的非线性弹性模型，但在广义位势理论基础上，也可方便用于建立弹塑性模型。

2.3 数值弹塑性模型

也可以直接用数学函数拟合应力应变曲线，依据E_t、的定义求拟合曲线的切线，即可获得不同应力状态下的E_t、，代替Duncan-Chang模型用双曲线拟合试验曲线获得的E_t、，这样可以适应更广泛的试验曲线。这时，只要有实验曲线，即可拟合并求得E_t、用于建立广义弹塑性模型，更具有通用性。

2.4 K-G弹塑性模型

通常的弹性K-G模型获得得一般关系为：

如进一步分解塑性应变增量

对比式 (8)、(9)和式 (20)、 (21)，即可得到广义弹塑性模型中A、B、C、D四个参数：

这时并没有对A、B、C、D四个参数采取约束，其结果可能是不满足关联流动，即非关联流动的，也可能更能反映土与金属材料不同的变形特性。对三参数K-G模型，。因此，用以往非线性弹性的K-G模型，结合广义位势理论，可以很方便的建立弹塑性模型。而以往的K-G模型用广义虎克定律建模时，很难破解存在K₂和G₁项的困难，只有没有这两项时，才方便用广义虎克定律建模，为此，高莲士教授等提出了K-G解耦模型，程展林等构建了类似弹塑性的矩阵。

3 实用本构模型

土的力学特性是复杂的，要全面表述土的本构特性的模型可能是较复杂的，但在一些特定受力条件土的变形特性相对可能又是简单的。对于一些特定的岩土工程问题，建立相应的简单实用模型更能解决问题。如地基沉降模型，在大面积荷载下主要是压缩变形，可以用一维压缩模型即可；对于基础沉降，可以依据压板载荷试验曲线，建立相匹配的切线模量法，既简单又实用，比复杂模型更可靠；对基坑支护、对填筑的坝体，可以建立与其应力路径相近的实用本构模型，对工程计算可能是更可靠实用的。这就可以在前面的广义位势理论的统一通用模型下，通过简单而接近实际岩土工程问题的应力路径的试验来建立实用模型，更有效又方便。

另一方面，土的本构模型参数主要是依据室内实验确定的。由于土体是天然形成的材料，对于具有较强结构性的土，取样试验存在扰动性，使得室内土样试验获得的参数与现场实际原状土参数存在较大差异，这就使得依据室内试验建立的本构模型在实际工程应用时存在较大差异，影响其准确性。

因此，要使本构模型在工程中得到较好的应用，应要解决模型理论的可靠性、参数的可靠性，才能提高模型应用的准确性。

按广义位势理论建立的统一通用模型具有理论基础的普遍性，假设清晰、理论可靠、参数确定灵活的特点。由以上的分析可知，现有的各种弹塑性本构模型都可以由广义位势模型得到，要建立简化模型，可以在广义位势模型基础上，根据工程需求，进一步简化，建立简化实用模型。

3.1 原位土沉降计算模型

按广义位势模型，当假设为关联流动时，需补充两个参数。沉降问题主要是压硬性和剪软性。可以用原位土的切线模量来解决：

                          （22）

或：

                  （23）

另一个参数是泊松比，对于一般非饱和土，可简单取为，则由E_t、即可构建简化实用沉降模型，由于基础沉降是单一单调加载，加载过程应力主方向变化不大，也可以用弹性分解准则建立非线性弹性模型。这样的模型只含有E_t、两个参数，如果影响不大，可设为常数，这样只有E_t，计算E_t的有关参数为E₀、c、，或增加m，可用现场原位试验确定，参数少，其取值范围也有丰富经验值，从而可保证参数的可靠性，有了理论和参数的可靠性，模型的准确性就有了保障。

4 结语

(1)   土的本构模型很重要，但现有的模型还是过于复杂，工程应用不够方便，影响了现代土力学理论的工程应用。造成这一原因之一是缺乏合适的建模理论，用传统理论较难全面反映岩土的变形特性，因而采用在现有基础上不断的修正和堆砌，使模型和概念越来越复杂，这犹如在现有天然地基的房子上增层加高，如果不改变基础，加层是有限的一样。

(2)   广义位势理论是从数学原理出发建立的一套表述理论，具有普遍性和通用性，通过物理假设，可以退化为现有的各种理论，数学原理清楚、可靠，适合和方便于建立岩土复杂材料的本构模型。

(3)   通过广义位势理论可以得到统一通用的弹塑性本构模型方程—广义位势塑性模型，无需塑性势函数，各种塑性模型均可在此基础上得到，如关联模型、非关联模型、剪胀模型、双屈服面模型、主轴旋转模型等，可以通过ABCD四个参数来反映得到。也可以根据工程需求，通过对ABCD四个参数的假设，灵活方便地建立实用本构模型，为工程应用提供方便。广义位势理论用于建立土的本构模型大有可为，尚未被充分认识和应用，值得探索与发展。

(4)   各种双屈服面模型可以看作是广义位势塑性模型用E_t、表述ABCD参数的模型。E_t、参数物理意义明确，较好反映了土的主要变形特性，用于广义位势理论建立的弹塑性模型概念简单直观、假设清楚、理论可靠、参数少，当＞0.5时还可以反映剪胀性，应该是有较好应用价值的模型。如要建立更复杂的精细化模型，广义位势理论提供了较好的理论基础。

(5)   土的本构模型虽然历经近60年的发展，但要更好的用于工程，提高行业水平，关键是要建立实用可靠的模型，应针对不同问题建立实用模型。实用模型要反映土的主要变形特点，理论可靠，参数易于确定，有明确的物理意义，取值易于判断，以保证参数的可靠性和理论的可靠性。如切线模量法，能较好反映土的压硬剪软特性，仅用三个参数E_t0、c、，达到参数简便、取值易判断的效果，有望为工程提供有效的应用，提高现代土力学理论的应用。

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