确定地基承载力的p-s曲线法

确定地基承载力的p-s曲线法

杨光华

（广东省水利水电科学研究院，广东省岩土工程技术研究中心）

地基承载力是土力学的基本问题，也是土力学创立近百年还没有解决好的一个难题。目前认为确定地基承载力最可靠的方法是压板载荷试验，但压板载荷试验确定的地基承载力只保证了地基的强度要求，并不能保证实际基础的变形要求。最好的方法是用实际基础的荷载沉降p~s曲线来确定，由实际基础的p~s曲线可以同时获得满足强度和变形双控要求的地基承载力。为此，必须要解决实际基础的p~s曲线的计算问题。而压板载荷试验是最接近基础实际受力状态的试验，能否通过压板载荷试验的p~s曲线去计算实际基础的荷载沉降p~s曲线？作者提出了切线模量法去解决压板载荷试验的尺寸效应问题，用切线模量法计算实际基础的荷载沉降p~s曲线，为破解地基承载力确定的难题提供了有效的方法。

关键词：地基承载力；压板载荷试验；荷载沉降p~s曲线；

1. 百年难题

地基承载力的确定是土力学的基本问题，自1925年Terzaghi创立土力学到目前已近百年，但如何科学合理确定地基的承载力仍是一个未很好解决的问题。目前工程中确定地基承载力最通常的方法是确定地基的极限承载力，取极限承载力除以安全系数，得到地基强度安全的承载力，安全系数K=2~3，然后再复核对应的基础变形，如果变形允许，则强度安全的承载力即为允许的地基承载力，否则，降低承载力，使变形满足要求。因此理论上是保证强度安全和变形控制的两个承载力的小值，就是地基承载力的允许值。现在存在的困难是，严格的地基极限承载力难以确定，地基沉降变形难算准。由于强度承载力有足够的安全储备，况且一般工程确定的极限承载力通常有一定的保守性，故即使有一定的误差，安全问题一般不大，但变形计算较难计算准确，通常是按线弹性力学方法计算变形，或按线弹性力学方法计算的应力分布，用压缩试验的e-p曲线，计算地基的压缩变形，与实际的差异则采用经验系数进行修正，如国家建筑地基规范的经验修正系数为1.4~0.2^[1]，变化范围较大。变形计算不准，对应变形要求的承载力就难定准。因此，理论上，目前地基的极限承载力和变形计算都难以严格准确，尤其是变形难算准，工程实践中只能采用保守的方法来保证工程安全，这样可能会造成工程浪费。因此，地基承载力问题，无论是作为一个科学问题，还是工程问题，都是没有解决好的难题，有必要深入研究，提高地基承载力合理确定的水平，以提高地基基础的设计水平。

2.压板载荷试验确定地基承载力的困难

通常认为现场压板载荷试验确定地基承载力是最可靠的，因为通常由土的室内试验强度指标，按理论公式计算的承载力毕竟是有一定假设下的理论值，况且其计算所依据的室内试验指标与现场原位土可能还有差异，计算值与实际还是有差异的。压板载荷试验获得的是压板尺寸下的荷载沉降变形曲线，并不是真实基础尺寸下的荷载沉降曲线，由于真实基础的尺寸与压板尺寸不同， 应力影响的深度和影响的土层不同，因此，压板载荷试验虽是最接近真实基础的试验，但还不能直接由压板载荷的试验曲线严格确定实际基础的地基承载力。

那么目前规范怎么解决这个问题的呢？利用压板载荷试验确定地基承载力的方法，以国家标准《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）的附录要求为例^[1]。

（1）极限荷载

当出现下列情况之一时，即可终止加载：

①承压板周围的土明显地侧向挤出；

②沉降s急骤增大，荷载-沉降（p-s）曲线出现陡降段；

③在某一级荷载下，24h内沉降速率不能达到稳定标准；

④沉降量与承压板宽度或直径之比大于或等于0.06。

（2）地基承载力特征值

①当p-s曲线上有比例界限时，取该比例界限所对应的荷载值。

②当极限荷载值小于对应比例界限的荷载值的2倍时，取极限荷载值的一半。

③当不能按上述二款要求确定时，当压板面积为0.25m³~0.5m³，可取沉降比s/b=0.01~0.015所对应的荷载，但其值不应大于最大加载值的一半。

规范方法是综合了理论与经验的成果。

关于极限承载力，这个试验所确定的是对应于压板尺寸的极限承载力，因为按地基极限承载力计算理论，地基的极限承载力由土的强度指标和基础尺寸、埋深等因素所确定，压板试验是无埋深的，因此，压板试验所得的极限承载力不代表真实基础下的地基极限承载力。但尺寸大、埋深大，极限承载力会增大，实际基础尺寸一般大于试验压板尺寸并且有埋深，因此实际基础的地基极限承载力大于压板确定的极限承载力。而地基极限承载力的严格确定其实也还是困难的^[2]，计算是理论的结果，是有假设的，即使是压板试验，也不一定能试验到破坏的状态，前面规范则用沉降比为0.06来确定地基的极限承载力^[1] ，对于较软的土也有用沉降比0.07来确定地基的极限承载力的，显然，这是一个相对值。

关于地基承载力特征值，同样，压板试验所得的承载力特征值还不是真实基础下的特征值，因此，规范还给出了依据土性而进行基础宽度和深度修正后，才得出实际基础下的承载力特征值，称为修正的承载力特征值，这一修正也是半理论半经验的方法。这样的修正，是能保证地基强度安全的，因为特征值最小保证了安全系数是2，强度是有安全储备的。但这样确定的特征值是不能保证实际基础的变形能满足要求的，因为实际基础尺寸大，相同压力下，基础沉降大于压板沉降，尺寸效应的沉降关系没有解决，虽然承载力特征值采用了沉降比的方法确定，但对应实际基础的沉降必然是大于压板试验的沉降的，如果简单的按半无限线弹性体考虑，按承载力确定的沉降比值，基础沉降变形为基础宽度的0.01~0.015，如果一个3m宽的基础，则可能的沉降为3cm~4.5cm，如果基础的沉降以3cm控制，按沉降比确定的承载力可用的基础宽度应该是3m以内为好，基础宽度大了，沉降会变大，如上海展览馆^[3]，采用箱型天然地基，承载力满足压板试验的沉降比0.02，但基础宽度40m多，沉降达160cm。因此，按沉降比确定的承载力也并不能保证基础的沉降是满足要求的。

通常进行了深宽修正的承载力特征值，也是只保证地基强度安全，不能保证实际基础的沉降安全的。

因此，特征值或修正特征值可以保证强度安全，不确保变形安全。

再者，试验结果多数是第三款情况，那么按沉降比确定承载力特征值时，沉降比为0.01~0.015，实际情况中取不同的沉降比会有不同的值，取哪一个沉降比对应的值呢？这一个取值也有很大经验的成份，保守者会取小值，胆大者会取大值。同时，广东的建筑地基设计规范则用沉降比为0.015~0.02^[4]，比国家标准大。这样，使地基承载力特征值更具有多值性，不同的取法会有不同的值，难以严格确定。

作者曾遇到一个实际案例^[5，6]，设计要求地基承载力特征值为300kpa，压板试验最大加载达900kpa，地基未破坏，试验曲线如图1所示。

图1  压板载荷试验曲线

按沉降比确定，s/b=0.01时，特征值为247kpa，达不到设计要求，但若取s/b=0.015，则特征值为315kpa，达到设计要求，取哪一个值呢？如果按广东规范，还可以取s/b=0.02对应的特征值400kpa，并且也小于最大试验荷载的一半，都满足以上规范的取值要求。显然，取不同的沉降比会有不同的承载力特征值。

因此， 压板载荷试验虽然是目前被认为是确定地基承载力最可靠的方法，但还是不能解决合理确定地基的承载力问题。

3. 确定地基承载力的p-s曲线法

地基允许承载力就是满足地基强度和变形安全所允许的基础底压应力。如果能获得实际基础下的荷载沉降p-s曲线，则地基允许承载力的合理确定可以由强度控制和变形控制的双控制方法确定^[5]。如图2所示，

图2 基础的荷载沉降p-s曲线

由p-s曲线可以得到基础对应的地基极限承载力p_u，由p-s曲线可以得到两个承载力：一个是满足强度要求的承载力：

K为安全系数，由曲线可以直接得到f_ap对应的基础沉降s_ap，同样，由p-s曲线，可以得到满足沉降s_as要求时对应的承载力f_as，则设计可取两者中的小值作为允许的地基承载力。

这样就保证了地基强度和变形的安全。因此，由p~s曲线，可以很方便的得到承载力对应的沉降，以及由沉降得到对应的承载力，可以按变形取定承载力，实现变形控制设计，这样就可以科学合理的确定地基的承载力，破解地基承载力确定的难题。

一般低压缩地基小尺寸基础，地基承载力可能是强度控制，取值可能是 f_ap，中高压缩地基，承载力通常是变形控制，取值是f_as 。同一地基场地，由于基础尺寸，埋深不同，其对应的p-s曲线都是不同的。

图3同一地基场地不同尺寸基础p-s曲线

如图3所示，尺寸不同，对应的极限承载力不同，同一荷载f_a 时，对应的基础沉降不同，相同基底压力下，小尺寸基础的沉降s₁小于大尺寸基础的沉降，同时，大尺寸基础极限承载力大于小尺寸基础的极限承载力。

因此，大尺寸的强度控制的承载力会大于小尺寸基础的，而变形控制的承载力大尺寸的会小于小尺寸基础的。因此，同一土层对应不同基础的允许地基承载力可能都是不同的。要科学合理的确定地基的承载力，应依据各基础尺寸下的荷载沉降p-s曲线，由强度和变形双控确定。这样，要科学的破解地基承载力的确定问题，就需要基础的p-s曲线。地基承载力问题一直未解决好，就是缺乏计算p~s曲线的有效方法。

4. 计算基础荷载沉降p-s曲线的切线模量法^[7，8]

目前能合理计算基础的p-s曲线的方法还是非常有限的。现代土力学虽然发展了有限元数值方法和现代土的本构模型，但由于土的本构模型参数通常是建立于室内土样的试验基础上，而土具有原位性、结构性，存在取样扰动，应力释放等因素，使室内土样有别于现场的原位土，这样，依据室内土样的参数较难反应原位土的特性，尤其是变形参数，室内与现场差异大，这就使得依靠这样的本构模型的数值计算难以较好的计算实际基础的p-s曲线。当然最好是对基础进行加载试验，直接测定其p-s曲线，但这也不现实，因为有不同的基础尺寸，且需加的荷载大，而工程中通常做的则是小尺寸的现场压板载荷试验，其与现场基础受力条件最为接近，压板试验可以获得其完整的p-s曲线，如果能由压板试验的p-s曲线预测实际基础的p-s曲线，则问题即可以解决，关键是要解决尺寸效应和地基土的层状性，杨光华提出的切线模量法可以较好地破解这一难题[9]。

4.1 由压板试验反计算土的强度和变形参数

假设土体的压板试验p～s曲线为一双曲线方程^[10]：

图4.双曲线线性化

拟合试验曲线，如图4所示，即可得到 a，b 两个参数。

该曲线任意点的切线导数为：

由(2)式可知，当s →∞   时， ， P_u为压板试验的极限荷载，由 P_u可以反计算土的粘聚力 c 和内摩擦角φ  。

由（4）式，当p=0时，压板曲线的初始切线斜率为：

设土的初始切线模量为E_o，由Boussinesq解，则基础的初始线弹性沉降为

基础沉降的初始刚度为

，则土的初始切线模量可由a反算为：

D为试验的压板直径， μ为土的泊松比，ω 为几何系数，E_o为原位土的初始切线模量。

这样，由压板试验可以得到土的变形和强度的三个参数E_o 、c 、 φ。

4.2 土的切线模量^[11]

假设在荷载p时，在荷载增量 △p下的变形为增量线性，见图5，则对压板试验引起的沉降增量可按半无限弹性体的Bussinesq解为：

图5 压板载荷试验曲线

E_t为压板底土体对应荷载P处增加一增量荷载 △p 时的土体等效切线模量，则

令 ，把(4)式和前面求得的a、b代入得压板底处土体对应的切线模量为：

像邓肯模型一样，引入一个破坏比系数R_f，则(11)式可改写为

(12)式中P/P_u一项是压板底面处所受压力P与基础底处地基极限荷载P_u的比值，反映了土体应力水平对土体切线模量的影响。(11)式表明，土的切线模量取决于P/P_u比值，而不仅仅是取决于P值，该项相当于考虑了应力水平对土的切线模量E_t的影响。对于不同基础、不同深度，随着深度的增加，基底应力扩散后附加应力p越少，而极限承载力p_u越大，则相应的切线模量也就越大，因而随着深度的增加，沉降收敛会越快，从而考虑了土的非线性。这样用这个土的切线模量E_t 于分层总和法计算基础的沉降，则可以考虑土的非线性变形，从而可以计算基础的荷载沉降非线性全过程，也即获得基础的荷载沉降p~s曲线。由于P_u可以由土的强度指标 和基础尺寸、埋深而计算得到，因此，切线模量法其实仅需要土的三个力学指标：c  、φ   、Eo 。

4.3基础非线性沉降计算的切线模量法[11]

如图6所示，对土分为若干土层，对第i土层，分层厚度为 △h_i ，

图6 切线模量分层总和法

在荷载p_i时，增加一个增量荷载 △p_i 作用下，分层沉降为：

总沉降增量：

为应力分布系数， 是按基础尺寸在分层位置A点处的地基极限承载力，可由土的c  、φ、基础尺寸、埋深计算得出。由（14）式可见，随着深度增加， 越小，而 越大，则E_t也越大，可以反映荷载水平产生的非线性，当在浅层，p_i 接近p_u 时，则 E_t接近趋于零，沉降无限大，即为破坏，因此，可以计算直到破坏的地基沉降全过程，获得基础的荷载沉降p~s曲线。

4.4案例

某工程场地为粉质粘土，检测单位在现场对持力层进行了3个点的载荷板试验，试验尺寸为方形板，边长0.5m，3个点试验的荷载和沉降关系如下图7所示。

图7 三个压板载荷试验曲线

按以上方法可以求得三个试验点对应的切线模量法的参数如下表1所示，

表2 个试验点的参数

平均的强度参数为内摩擦角Φ=20°，粘聚力c=70kPa，与地质报告统计试验提供的代表值内摩擦角Φ=19.2°，粘聚力c=73.5kPa 是比较接近的。用平均参数按切线模量法计算压板尺寸的荷载沉降曲线，如图7所示，与试验曲线接近，说明参数和计算方法可行。

假定设计的基础分别为边长2m和6m的方形基础，无埋深的情况来进行分析研究。

用切线模量法，可以计算得到以上两个基础的P~S曲线如图8所示。

按压板试验最大值对应的强度指标内摩擦角φ=20° ，粘聚力c=59kPa计算其对应地基的极限承载力：基础宽2m时为982kPa，基础宽6m为1198kPa。如果按变形控制设计，当控制基础沉降为25mm时，2m宽基础由p~s曲线可得对应的承载力为315kPa，安全系数为982/315=3.1，而这个承载力相当于前面用沉降比为0.015所确定的承载力，如果按前面的沉降比0.01对应的承载力245kPa则显然是保守了。基础如控制沉降为40mm，则承载力可为470kPa，安全系数k=2.1。而对应基础宽6m的基础，沉降为25mm时则承载力只能130kPa，对应地基的安全系数为1198/130=9.2，基础如控制沉降50mm，则对应承载力为245kPa，安全系数K=4.8，也即相当于前面图1用压板试验的沉降比为0.01所对应的地基承载力247kPa。因此，压板试验确定的承载力如果用于尺寸较大的基础，沉降是不能保证满足要求的。而取什么样的承载力，应该是依据实际基础的荷载沉降p-s曲线，由实际基础的沉降和强度安全系数双控确定才是科学可靠的。如果用压板试验的p-s曲线确定承载力，则既不知道实际基础的沉降，也不知道安全系数，显然是不能确定到合理的承载力的。

图8.切线模量法计算所得的基础宽为2m和6m时的p-s曲线

讨论：切线模量法所需的三个参数 Eo  、c  、φ   简单， c  、φ 通常是由室内试验确定，有丰富的经验值，但也会变异性大，通过压板试验的极限承载力反算，相对较可靠，同时由于允许承载力有足够的安全储备，极限承载力的误差不会影响承载力的安全性。变形控制的承载力取决于变形计算的可靠性，依据现场压板试验反算的土的初始切线模量 Eo 较为可靠，同时荷载越接近初始位置，计算越可靠。对于实际允许承载力下通常非线性还不是很明显，因此，由 Eo 影响为主的变形计算相对较为可靠。包括双曲线方程的假设，在进入较大的非线性时可能会有误差，而在非线性不大的区域，准确性是比较可靠的。

对于分层土的情况，由于切线模量法采用了分层总和法计算沉降，对各土层用各土层的三个参数，因而可以考虑基础下不同土层的影响。

对于大尺寸基础，应力影响深度较大，深部土体可能处于小应变状态，可以引入小应变的思想，建立高级切线模量计算式^[12]：

对于复合地基，较理想的方法也是通过桩和桩间土的变形协调共同作用，求取复合地基的p~s曲线^[13]，由p~s曲线按强度和变形双控的方法确定其承载力是较科学的方法。如图9所示，复合地基的p~s曲线可以由天然地基的p~s曲线和桩的p~s曲线依据变形协调复合而成，还可以反映分层地基的特性。

地基承载力问题一直未能很好的解决，正如黄文熙教授所所指出的^[14]，就是因为无法获得地基稳定和变形的统一问题的解，也即无法获得荷载沉降过程的p~s曲线，因而，只能把强度稳定和变形问题分开来求解。只有解决p~s曲线，才能破解这一难题。

5.结论

1） 地基承载力的合理确定是土力学的一个基本问题，也是一个百年难题。其困难之处是由于无法获得地基稳定与变形统一的解，即无法获得可靠的基础荷载沉降过程的p~s曲线。

2） 现场压板试验是目前认为是确定地基承载力最可靠的方法，但按现在规范的方法，用压板试验确定的承载力，以及经过深宽修正的承载力，可以保证地基的强度安全，但不能保证变形安全，不保证实际基础对应的沉降能满足要求。尚不能很好的解决地基承载力问题。

3） 用实际基础的荷载沉降p-s曲线，依据强度安全和变形双控来确定地基承载力，是破解地基承载力合理确定这个难题的有效途径。

4） 计算基础荷载沉降p-s曲线的有效方法是切线模量法。

5） 由于实际取用的地基承载力有足够的安全储备，地基极限承载力或非线性的误差不影响安全性，切线模量法确定的p-s曲线用于确定承载力有足够的安全性和可靠性。

6） 实际中可以进一步积累经验 ，不断完善和提高准确性。

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[14]黄文熙主编，《土的工程性质》，中国水利电力出版社，1983.

初稿写于 2022.1.1